Сборник задач по сопромату: статистически определимые системы

Показаны сообщения с ярлыком статистически определимые системы. Показать все сообщения

воскресенье, 18 декабря 2011 г.

Задача 1.21

Рабочее давление в цилиндре паровой машины q=10 ат (превышение над наружным); внутренний диаметр цилиндра D=350 мм (см. рисунок). Сколько болтов диаметром d=18 мм необходимо, чтобы прикрепить крышку к телу цилиндра, если допускаемое напряжение для материала болтов [σ]=400 кг/см².

Решение.

Площадь сечения одного болта:

$S_1=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{3,14\cdot1,8^2}{4}=2,54\: cm^2$

Усилие, которое он может выдержать:

$P_1=\left[\sigma \right ]\cdot S=400\cdot2,54=1016\: kg$

Площадь сечения крышки:

$S=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{3,14\cdot35^2}{4}=961,6\: cm^2$

Усилие, которое приходится на крышку (и равномерно распределяется по всем болтам):

P=10×961,6=9616 кг.

Таким образом, нам необходимо n=P/P₁=9616/1016=9,46 (округляя вверх до целого = 10) болтов.

Задача 1.20

На рисунке представлен стержень, верхняя часть которого стальная, а нижняя чугунная. Осевая нагрузка P укорачивает весь стержень на 0,2 мм. Определить величину нагрузки P.

Решение.

Индекс 1 далее относится к верхней части, индекс 2 — к нижней.

Площадь сечения верхней (стальной) части S₁=5×5=25 см²

Площадь сечения нижней (чугунной) части S₂=7,5×7,5=56,25 см²

Модули упругости соответственно 2·10⁶ кгс/см² и 1,2 кгс/см².

Укорочение стержня можно найти по формуле:

$\Delta l=\frac{Pl_1}{E_1S_1}+\frac{Pl_2}{E_2S_2}$

Отсюда выразим P:

$P=\frac{\Delta l}{\frac{l_1}{E_1S_1}+\frac{l_2}{E_2S_2}}$

Подставляем значения:

$P=\frac{0,02}{\frac{25}{2\cdot10^6\cdot25}+\frac{30}{1,2\cdot10^6\cdot56,25}}=21176\: kg\: \left(21,2\:t\right)$

Ответ: 21,2 тонны.

среда, 2 ноября 2011 г.

Задача 1.19

Определить напряжения во всех участках изображенного на рисунке стального стержня и полную его деформацию, если поперечное сечение равно 10 см².

Решение.

Реактивное усилие в заделке равно 4+2-2 = 4 т. (направлено влево).

Рассмотрим по отдельности все три участка:

а) Левый участок длиной 1 м. Рассекаем его в произвольном месте и отбрасываем правую часть. Для нейтрализации реактивного усилия в нём должна быть направленная вправо сила 4 т., усилие на этом участке растягивающее.

Напряжение на этом участке:

$\sigma_1=\frac{4000}{10}=400\: \frac{kg}{cm^2}$

Удлинение стержня на этом участке (растяжение):

$\Delta l=\frac{F_1l_1}{ES}=\frac{4000\cdot100}{2\cdot10^6\cdot10}=0.02\: cm$

б) средний участок. Аналогично рассечем его в любом месте и отбросим правую часть. Напряжение в нём будет равно нулю (-4 т + 4 т.), как и удлинение.

в) Правый участок. Рассекаем в любом месте, отбрасываем левую часть. Усилие для компенсации силы справа составит +2 т (направлено вправо), участок будет сжат.

Напряжение в сечении:

$\sigma_1=\frac{-2000}{10}=-200\: \frac{kg}{cm^2}$

Укорочение участка:

$\Delta l=\frac{F_1l_1}{ES}=\frac{2000\cdot200}{2\cdot10^6\cdot10}=0.02\: cm$

Полное изменение длины участка + 0,02 см + 0 см -0,02 см = 0

воскресенье, 26 июня 2011 г.

Задача 1.17

Определить напряжения в сечениях 1-1 и 2-2 и полное удлинение стального стержня, нагруженного, как показано на рисунке, если площадь его поперечного сечения равна 4 см².

Решение.

Для определения напряжения, мысленно рассекаем стрежень по сечениям и отбрасываем любую из частей (левую или правую), определяем геометрическую сумму сил на оставшемся участке.

Выйдет для сечения 1-1 2 т и для сечения 2-2 1 т.

Усилия в сечениях

$\begin{matrix} \sigma _{1-1}=\frac{S_1}F=\frac{2000}{4}=500 kg/cm^2\\\\ \sigma _{1-1}=\frac{S_1}F=\frac{2000}{4}=500 kg/cm^2 \end{matrix}$

Деформация стержня складывается из деформаций по участкам, с учётом знаков.

$\Delta l_1\frac{S_1l1_1}{EF}=\frac{2000\cdot 100}{2\cdot10^6\cdot4}=0.025 mm$

$\Delta l_2\frac{S_2l_2}{EF}=\frac{1000\cdot 200}{2\cdot10^6\cdot4}=0.025|:cm$

Суммарная деформация 0,05 см = 0,5 мм.

суббота, 19 марта 2011 г.

Задача 1.16

Две деревянные стойки сечением 10×10 см каждая нагружены, как указано на рисунке. Определить напряжения в различных сечениях стоек.

Решение.

Определим сначала реактивные усилия.

Расчёт тривиальный, по правилу рычага и т.п.:

$F_1=\frac{900\cdot2}{3}=600\:kg$

$F_2=\frac{300\cdot4}{3}=400\:kg$

$F_3=\frac{300\cdot1,5}{3}=150\:kg$

$F_4=\frac{900\cdot1}{3}=300\:kg$

$F_5=\frac{300\cdot1}{3}=100\:kg$

$F_6=\frac{300\cdot4,5}{3}=450\:kg$

Площадь поперечного сечения каждой стойки:

S=10×10=100 см²

Действующие на участках силы:

F_a = F₁ = 600 кг
F_b = F₁ + F₂ = 600+400 = 1000 кг
F_c = F₁ + F₂ - F₃ = 600+400-150 = 850 кг
F_d = F₄ = 300кг
F_e = F₄ - F₅ = 300-100 = 200 кг
F_f = F₄ - F₅ + F₆ = 300-100+450 = 650 кг

Напряжения на участках:

[σ_a]=F_a/S=600/100 = 6 кг/см²
[σ_b]=F_b/S=1000/100 = 10 кг/см²
[σ_c]=F_c/S=850/100 = 8,5 кг/см²
[σ_d]=F_d/S=300/100 = 3 кг/см²
[σ_e]=F_e/S=200/100 = 2 кг/см²
[σ_f]=F_f/S=650/100 = 6,5 кг/см²

Примечание — здесь со знаком плюс — усилия, направленные вниз.

Задача 1.15

Определить диаметр каждого из двух болтов, соединяющих обе части разъемной головки шатуна (см. рисунок); усилие в шатуне P=12 800 кг; допускаемое напряжение для материала болтов равно [σ]=600 кг/см².

Решение.

Необходимая площадь сечения одного болта:

$S_1=\frac {P}{2\cdot\sigma}=\frac{12800}{2\cdot600}=10 \tfrac{2}{3} cm^2$

Отсюда минимальный диаметр одного болта:

$d=\sqrt{\frac{4\cdot S_1}{\pi}}=\sqrt{\frac{4\cdot 10 \tfrac{2}{3}}{\pi}}=3,68\,cm=36,8\,mm$

четверг, 17 марта 2011 г.

Задача 1.14

К нижнему концу троса, закреплённого верхним концом, подвешен груз P=7,5 т. Трос составлен из проволок диаметров d=2 мм. Допускаемое напряжение для материала троса равно [σ]=3000 кг/см². Из какого количества проволок должен быть составлен трос?

Решение.

Площадь поперечного сечения одной проволоки $S_1=\frac{\pi\cdot d^2}{4}=\frac{\pi\cdot0,2^2}{4}=31,4\cdot10^{-3}\, cm^2$

Необходимая площадь поперечного сечения всех проволок:

$S=\frac{P}{\left [\sigma \right ]}=\frac{7500}{3000}=2,5\, cm^2$

Необходимое количество проволок:

$n=\frac{2,5}{31,4\cdot10^{-3}}=79,6$

Округляем вверх до 80 штук.

среда, 16 марта 2011 г.

Задача 1.13

Сосновая стойка сечением 20×20 см. опирается на дубовую подушку, как указано на рисунке. Допускаемое напряжение на смятие для сосны вдоль волокон равно $\inline \left [ \sigma_\parallel \right ]$ =100 кгс/см², а для дуба поперёк волокон равно $\inline \left [ \sigma_\perp \right ]$ =300 кгс/см². Определить предельную нагрузку на стойку.

Решение.

Площадь поперечного сечения стойки (и площадь на которой сосновая стойка опирается на дубовую подушку)

S=20·20=400 см².

При допустимом напряжении для сосны предельной нагрузкой будет

$\inline P=\left [ \sigma_\parallel \right ] \cdot S = 100 \cdot 400 = 40000\, kg$

, а для дуба будет

$\inline P=\left [ \sigma_\perp \right ] \cdot S = 30 \cdot 400 = 12000\, kg$

Меньшее из значений (12000 кг. или 12 т) и будет предельной нагрузкой.

четверг, 10 марта 2011 г.

Задача 1.12

Две проволоки, одна стальная, другая медная, имеют одинаковую дину и нагружены одинаковыми осевыми растягивающими усилиями. Медная проволока имеет диаметр 1 мм. Чему равен диаметр стальной проволоки, если обе проволоки удлиняются на одинаковую величину?

Решение

Удлинение проволоки находится по формуле:

$\Delta l=\frac{P\cdot l}{E\cdot S}$

По условиям задачи удлинение обеих проволок одинаковое, то есть:

$\frac{P\cdot l}{E_{Cu}\cdot S_{Cu}}=\frac{P\cdot l}{E_{St}\cdot S_{St}}$

откуда $\frac{S_{Cu}}{S_{St}}=\frac{E_{St}}{E_{Cu}}$

или

$\frac{d^2_{Cu}}{d^2_{St}}=\frac{E_{St}}{E_{Cu}}$

отсюда

$d_{St}=\sqrt{d^2_{Cu}\frac{E_{Cu}}{E_{St}}}=\sqrt{0,1^2\cdot\frac{1\cdot10^6}{{2\cdot10^6}}}=\sqrt{0,005}=0,071 cm=0,71 mm$

Задача 1.11

Посмотреть на Яндекс.Фотках

Двутавровая балка № 30а заложена концами в кирпичную стену (см. рисунок). Через каждый конец балки равномерно передаётся на кладку давление Q=6 т. Определить на какую длину a следует заложить в стену конец балки, если допускаемое напряжение на сжатие для кирпичной кладки равно [σ]=9 кг/см². Ширину балки взять из сортамента.

Решение.

Ширина балки № 30а по сортаменту 14,5 см. Глубина заделки a=S/14,5 (S — площадь балки)

S = Q/σ = 6000/9=666,7 см²

Глубина заделки a=666,7/14,5=46 см.

среда, 9 марта 2011 г.

Задача 1.10

Затяжка арочной фермы длиной 10 м испытывает усилие 60 т. Затяжка состоит из двух стальных швеллеров № 18а. Насколько удлинится затяжка?

Решение.

Для швеллера 18а площадь сечения составляет 22,2 см² (находим из таблицы). Для двух швеллеров соответственно площадь сечения S= 44,4 см².

Напряжение в поперечном сечении составит:

σ=P/S=60000/44,4=1351 кг/см2

Модуль упругости для стали E=2·10⁶ кг/см²

Удлинение затяжки

$\Delta l=\frac{Pl}{ES}=\frac{60000\cdot1000}{2\cdot10^6\cdot44,4}=0,676 cm = 6,76 mm$

воскресенье, 27 февраля 2011 г.

Задача 1.9

Стальная полоса (см. рисунок) растянута продольными силами. Она ослаблена круглыми заклепочными отверстиями, как показано на рисунке. Определить среднюю величину напряжения в опасном сечении.

Посмотреть на Яндекс.Фотках

Решение.

Площадь опасного сечения составит:

$S={1\cdot20}-3\cdot\left(1\cdot2\right)=14\:cm^2$

Напряжение в опасном сечении:

$\sigma=\frac{P}{S}=\frac{14000}{14}=1000\:kg/cm^2$

Задача 1.8

Стержень из малоуглеродистой стали шириной 30 см и толщиной 15 мм ослаблен заклепочным отверстием диаметром 23 мм, расположенным на оси стержня. Какое растягивающее усилие этот стержень сможет выдержать, если допускаемое напряжение равно 900 кг/см².

Решение

Площадь в опасном сечении будет

S=30×1,5-(2,3×1,5)=41.55 см²

Допустимое усилие составит

P=σ·S=900·41,55=37395 кг.

пятница, 25 февраля 2011 г.

Задача 1.7

1.7 Проволока диаметром 5 мм и длиной 600 м, приводящая в движение железнодорожный сигнал, расположена на роликах, как указано на рисунке.

Определить, какое перемещение Δ при усилии в 200 кг надо дать концу проволоки в сигнальной будке, если перемещение другого её конца у сигнала должно быть равно a=17,5 см. Провесом проволоки между роликами и силой трения между проволокой и роликами пренебречь.

Решение

Материал проволоки не указан. Принимаем сталь (модуль упругости при растяжении и сжатии E=2·10⁶кг/см²).

Удлинение проволоки при таком усилии составит

$\Delta l=\frac{4 P l}{E \pi D^2}=\frac{4\cdot200\cdot 60000}{2\cdot10^6\pi 0,5^2}=30,6 cm$

Необходимое перемещение Δ=Δl+a=30,6+17,5=48,1 см.

среда, 23 февраля 2011 г.

Задача 1.6

1.6 Чугунная колонна кольцевого поперечного сечения имеет наружный диаметр 30 см. и нагружена силой 200 т. Определить необходимую толщину стенки при допускаемом напряжении на сжатие 800 кг/см².

Решение

Площадь сечения колонны находится по формуле

$S=\frac P \sigma$ S=200 000 кг/800 кг/см² = 250 см²

Площадь сечения цилиндрической колонны такого диаметра составила бы

$S^\prime=\frac{\pi D^2}{4}$

S'=π·30²/4 = 706,858 см²

Таким образом, площадь внутреннего диаметра колонны (площадь отверстия) составит

S''=706,858-250 = 456,858 см²

Диаметр этого отверстия

$D=\sqrt{\frac{4\cdot S''}{\pi}}=\sqrt{\frac{4\cdot 456,858}{\pi}}=24,118 cm$

Толщина стенок $l=\frac{30-24,118}2=2,9 cm$

воскресенье, 18 декабря 2011 г.

среда, 2 ноября 2011 г.

воскресенье, 26 июня 2011 г.

суббота, 19 марта 2011 г.

четверг, 17 марта 2011 г.

среда, 16 марта 2011 г.

четверг, 10 марта 2011 г.

среда, 9 марта 2011 г.

воскресенье, 27 февраля 2011 г.

пятница, 25 февраля 2011 г.

среда, 23 февраля 2011 г.