Сборник задач по сопромату: растяжение и сжатие

Показаны сообщения с ярлыком растяжение и сжатие. Показать все сообщения

суббота, 14 апреля 2012 г.

Задача 1.24

Водонепроницаемый щит удерживается от опрокидывания деревянными подкосами AB круглого поперечного сечения диаметром 15 см. Допускаемое напряжение для материала подкосов принято равным 20 кг/см². Определить наибольшее расстояние между подкосами.

Решение.

Задача аналогична предыдущей (1.23), только решается как бы с противоположной стороны.

Площадь поперечного сечения подкоса составляет:

$S=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi\cdot15^2}{4}=176.7\: cm^2$

При такой площади, учитывая допускаемое напряжение [σ]=20 кг/см², максимальное допустимое усилие на подкос составит:

F=[σ]·S=20·176,7=3534 кг.

Давление, действующая на элемент боковой стенки с площадью dS, находящийся на глубине h от поверхности слоя, учитывая основное уравнение гидростатики, составит PS=P0+ρgh (где ρ — плотность воды = 1000, g - ускорение свободного падения в этой точки Земли, которое можно принять за 9,807 м/с2, P0 — атмосферное давление). P0 исключаем, т.к. атмосферное давление действует и с противоположной стороны щита.

Это давление, стало быть, изменяется по линейному закону от 0 (на поверхности) до ρgh, причём сила, действующая на конечный элемент (в ньютонах) изменяется от 0 до ρghdS (а в тоннах от 0 до ρhdS).

Среднее давление составит P=(ρgh+0)/2=1000*9,807*3/2=14,710 кПа

Сила, действующая на выбранный нами участок плоской стенки длиной x, где x (в метрах)
и есть искомое расстояние между подкосами, составит:

F_г.ст/=P×S=P×3×x=14710*3*x=44130×x Н (44130×x/9,807=4,5×x тонн)

Без вывода — эта сила приложена в данном случае на расстоянии, равном 1/3 высоты от дна (см. http://gidravl.narod.ru/osnovstat.html п. 2.3) или на высоте h_ц.д.=3*1/3=1 м.

По правилу рычага усилие, приходящееся на подпорку:

$\frac{4.5\cdot x\cdot 1}{4}=1.125\cdot x\: tonnes$

(Направленное перпендикулярно щиту).

Однако, подкос стоит не перпендикулярно щиту, а под углом, синус которого равен 3/5 (где 5 — длина подкоса по теореме Пифагора).

Проекция силы на подкос составит 1,125×x/cos A, где A = 90°-угол между стеной и подкосом, cos A=3/5, таким образом, проекция силы составит 1,125×/(3/5)=1,875×x.

C другой стороны это усилие, как мы выяснили выше, равно 3,534 т.

1,875×x=3,534, отсюда x=1,88 м.

суббота, 18 февраля 2012 г.

Задача 1.23

Водонепроницаемый щит удерживается деревянными распорками AB от опрокидывания давлением воды. Распорки поставлены через каждые три метра. Подобрать круглое сечение распорки, если для дерева допускаемое напряжение на сжатие в нашем случае равно [σ]=30 кг/см².

Решение.

Рассмотрим элемент боковой стенки, приходящийся на одну опору (т.е. длиной 3 метра). Его площадь S составит 6 кв. м. (3×2, где 3 м. — длина этого элемента боковой стенки и 2 м. — высота слоя жидкости).

Давление, действующая на элемент боковой стенки с площадью dS, находящийся на глубине h от поверхности слоя, учитывая основное уравнение гидростатики, составит P_S=P₀+ρgh (где ρ — плотность воды = 1000, g - ускорение свободного падения в этой точки Земли, которое можно принять за 9,807 м/с², P₀ — атмосферное давление). P₀ исключаем, т.к. атмосферное давление действует и с противоположной стороны щита.

Это давление, стало быть, изменяется по линейному закону от 0 (на поверхности) до ρgh, причём сила, действующая на конечный элемент (в ньютонах) изменяется от 0 до ρghdS (а в тоннах от 0 до ρhdS).

Среднее давление составит P=(ρgh+0)/2=1000*9,807*2/2=9,807 кПа

Сила, действующая на выбранный нами участок плоской стенки

F=P×S=9800*2*3=58840 Н (58840/9,807=6 тонн)

Без вывода — эта сила приложена в данном случае на расстоянии, равном 1/3 высоты от дна (см. http://gidravl.narod.ru/osnovstat.html п. 2.3) или на высоте h_ц.д.=2*1/3=2/3 м.

По правилу рычага усилие, приходящееся на подпорку

F_п=6×((2/3)/3)=4/3 тонны

В таком случае, необходимая площадь поперечного сечения подпорки S_п=F_п/[σ]=4/(3×30)=44,5 см², откуда необходимый диаметр:

$d=\sqrt{\frac{4\cdot S}\pi}=\sqrt{\frac{4*44,5}{3,14}}=7,5\, cm$

понедельник, 9 января 2012 г.

Задача 1.22

Условие.

Сечение подвески AB (см. рисунок) состоит из четырёх стандартных уголков размером 100×100×10 мм, ослабленных восемью заклёпочными отверстиями диаметром 20 мм. Определить напряжение в опасном сечении подвески.

Решение.

Хотя формально система не является статистически определимой, пользуясь её симметрией, мы можем решить эту задачу. Отбрасываем, например, левую часть по оси симметрии, оставляя в подвесе только два стандартных уголка.

Напряжение в точке B (обозначим F) будет очевидно направлено вниз и суммарное усилие от двух сосредоточенных сил в этой точке можно посчитать в соответствии с правилом рычага, оно составит:

$\frac{20\times 1}{4}+\frac{20\times 3}{4}=20\: m$

Эти 20 тонн распределены на два уголка поровну, на один уголок придётся 10 т.

Площадь сечения стандартного уголка находим по таблице, она равна 19,2 см². В каждом уголке по два отверстия, уменьшающих площадь опасного сечения на (1×2)=2 см² каждое.

Таким образом, площадь опасного сечения составит S=19,2-(2×2)=15,2 см².

Напряжение в опасном сечении:

$\sigma =\frac{F}{S}=\frac{10000}{15,2}=658\: kg/cm^2$

В задачнике в ответе приведено значение 659 кг/см².

воскресенье, 18 декабря 2011 г.

Задача 1.21

Рабочее давление в цилиндре паровой машины q=10 ат (превышение над наружным); внутренний диаметр цилиндра D=350 мм (см. рисунок). Сколько болтов диаметром d=18 мм необходимо, чтобы прикрепить крышку к телу цилиндра, если допускаемое напряжение для материала болтов [σ]=400 кг/см².

Решение.

Площадь сечения одного болта:

$S_1=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{3,14\cdot1,8^2}{4}=2,54\: cm^2$

Усилие, которое он может выдержать:

$P_1=\left[\sigma \right ]\cdot S=400\cdot2,54=1016\: kg$

Площадь сечения крышки:

$S=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{3,14\cdot35^2}{4}=961,6\: cm^2$

Усилие, которое приходится на крышку (и равномерно распределяется по всем болтам):

P=10×961,6=9616 кг.

Таким образом, нам необходимо n=P/P₁=9616/1016=9,46 (округляя вверх до целого = 10) болтов.

Задача 1.20

На рисунке представлен стержень, верхняя часть которого стальная, а нижняя чугунная. Осевая нагрузка P укорачивает весь стержень на 0,2 мм. Определить величину нагрузки P.

Решение.

Индекс 1 далее относится к верхней части, индекс 2 — к нижней.

Площадь сечения верхней (стальной) части S₁=5×5=25 см²

Площадь сечения нижней (чугунной) части S₂=7,5×7,5=56,25 см²

Модули упругости соответственно 2·10⁶ кгс/см² и 1,2 кгс/см².

Укорочение стержня можно найти по формуле:

$\Delta l=\frac{Pl_1}{E_1S_1}+\frac{Pl_2}{E_2S_2}$

Отсюда выразим P:

$P=\frac{\Delta l}{\frac{l_1}{E_1S_1}+\frac{l_2}{E_2S_2}}$

Подставляем значения:

$P=\frac{0,02}{\frac{25}{2\cdot10^6\cdot25}+\frac{30}{1,2\cdot10^6\cdot56,25}}=21176\: kg\: \left(21,2\:t\right)$

Ответ: 21,2 тонны.

среда, 2 ноября 2011 г.

Задача 1.19

Определить напряжения во всех участках изображенного на рисунке стального стержня и полную его деформацию, если поперечное сечение равно 10 см².

Решение.

Реактивное усилие в заделке равно 4+2-2 = 4 т. (направлено влево).

Рассмотрим по отдельности все три участка:

а) Левый участок длиной 1 м. Рассекаем его в произвольном месте и отбрасываем правую часть. Для нейтрализации реактивного усилия в нём должна быть направленная вправо сила 4 т., усилие на этом участке растягивающее.

Напряжение на этом участке:

$\sigma_1=\frac{4000}{10}=400\: \frac{kg}{cm^2}$

Удлинение стержня на этом участке (растяжение):

$\Delta l=\frac{F_1l_1}{ES}=\frac{4000\cdot100}{2\cdot10^6\cdot10}=0.02\: cm$

б) средний участок. Аналогично рассечем его в любом месте и отбросим правую часть. Напряжение в нём будет равно нулю (-4 т + 4 т.), как и удлинение.

в) Правый участок. Рассекаем в любом месте, отбрасываем левую часть. Усилие для компенсации силы справа составит +2 т (направлено вправо), участок будет сжат.

Напряжение в сечении:

$\sigma_1=\frac{-2000}{10}=-200\: \frac{kg}{cm^2}$

Укорочение участка:

$\Delta l=\frac{F_1l_1}{ES}=\frac{2000\cdot200}{2\cdot10^6\cdot10}=0.02\: cm$

Полное изменение длины участка + 0,02 см + 0 см -0,02 см = 0

воскресенье, 26 июня 2011 г.

Задача 1.17

Определить напряжения в сечениях 1-1 и 2-2 и полное удлинение стального стержня, нагруженного, как показано на рисунке, если площадь его поперечного сечения равна 4 см².

Решение.

Для определения напряжения, мысленно рассекаем стрежень по сечениям и отбрасываем любую из частей (левую или правую), определяем геометрическую сумму сил на оставшемся участке.

Выйдет для сечения 1-1 2 т и для сечения 2-2 1 т.

Усилия в сечениях

$\begin{matrix} \sigma _{1-1}=\frac{S_1}F=\frac{2000}{4}=500 kg/cm^2\\\\ \sigma _{1-1}=\frac{S_1}F=\frac{2000}{4}=500 kg/cm^2 \end{matrix}$

Деформация стержня складывается из деформаций по участкам, с учётом знаков.

$\Delta l_1\frac{S_1l1_1}{EF}=\frac{2000\cdot 100}{2\cdot10^6\cdot4}=0.025 mm$

$\Delta l_2\frac{S_2l_2}{EF}=\frac{1000\cdot 200}{2\cdot10^6\cdot4}=0.025|:cm$

Суммарная деформация 0,05 см = 0,5 мм.

суббота, 19 марта 2011 г.

Задача 1.16

Две деревянные стойки сечением 10×10 см каждая нагружены, как указано на рисунке. Определить напряжения в различных сечениях стоек.

Решение.

Определим сначала реактивные усилия.

Расчёт тривиальный, по правилу рычага и т.п.:

$F_1=\frac{900\cdot2}{3}=600\:kg$

$F_2=\frac{300\cdot4}{3}=400\:kg$

$F_3=\frac{300\cdot1,5}{3}=150\:kg$

$F_4=\frac{900\cdot1}{3}=300\:kg$

$F_5=\frac{300\cdot1}{3}=100\:kg$

$F_6=\frac{300\cdot4,5}{3}=450\:kg$

Площадь поперечного сечения каждой стойки:

S=10×10=100 см²

Действующие на участках силы:

F_a = F₁ = 600 кг
F_b = F₁ + F₂ = 600+400 = 1000 кг
F_c = F₁ + F₂ - F₃ = 600+400-150 = 850 кг
F_d = F₄ = 300кг
F_e = F₄ - F₅ = 300-100 = 200 кг
F_f = F₄ - F₅ + F₆ = 300-100+450 = 650 кг

Напряжения на участках:

[σ_a]=F_a/S=600/100 = 6 кг/см²
[σ_b]=F_b/S=1000/100 = 10 кг/см²
[σ_c]=F_c/S=850/100 = 8,5 кг/см²
[σ_d]=F_d/S=300/100 = 3 кг/см²
[σ_e]=F_e/S=200/100 = 2 кг/см²
[σ_f]=F_f/S=650/100 = 6,5 кг/см²

Примечание — здесь со знаком плюс — усилия, направленные вниз.

Задача 1.15

Определить диаметр каждого из двух болтов, соединяющих обе части разъемной головки шатуна (см. рисунок); усилие в шатуне P=12 800 кг; допускаемое напряжение для материала болтов равно [σ]=600 кг/см².

Решение.

Необходимая площадь сечения одного болта:

$S_1=\frac {P}{2\cdot\sigma}=\frac{12800}{2\cdot600}=10 \tfrac{2}{3} cm^2$

Отсюда минимальный диаметр одного болта:

$d=\sqrt{\frac{4\cdot S_1}{\pi}}=\sqrt{\frac{4\cdot 10 \tfrac{2}{3}}{\pi}}=3,68\,cm=36,8\,mm$

четверг, 17 марта 2011 г.

Задача 1.14

К нижнему концу троса, закреплённого верхним концом, подвешен груз P=7,5 т. Трос составлен из проволок диаметров d=2 мм. Допускаемое напряжение для материала троса равно [σ]=3000 кг/см². Из какого количества проволок должен быть составлен трос?

Решение.

Площадь поперечного сечения одной проволоки $S_1=\frac{\pi\cdot d^2}{4}=\frac{\pi\cdot0,2^2}{4}=31,4\cdot10^{-3}\, cm^2$

Необходимая площадь поперечного сечения всех проволок:

$S=\frac{P}{\left [\sigma \right ]}=\frac{7500}{3000}=2,5\, cm^2$

Необходимое количество проволок:

$n=\frac{2,5}{31,4\cdot10^{-3}}=79,6$

Округляем вверх до 80 штук.

среда, 16 марта 2011 г.

Задача 1.13

Сосновая стойка сечением 20×20 см. опирается на дубовую подушку, как указано на рисунке. Допускаемое напряжение на смятие для сосны вдоль волокон равно $\inline \left [ \sigma_\parallel \right ]$ =100 кгс/см², а для дуба поперёк волокон равно $\inline \left [ \sigma_\perp \right ]$ =300 кгс/см². Определить предельную нагрузку на стойку.

Решение.

Площадь поперечного сечения стойки (и площадь на которой сосновая стойка опирается на дубовую подушку)

S=20·20=400 см².

При допустимом напряжении для сосны предельной нагрузкой будет

$\inline P=\left [ \sigma_\parallel \right ] \cdot S = 100 \cdot 400 = 40000\, kg$

, а для дуба будет

$\inline P=\left [ \sigma_\perp \right ] \cdot S = 30 \cdot 400 = 12000\, kg$

Меньшее из значений (12000 кг. или 12 т) и будет предельной нагрузкой.

четверг, 10 марта 2011 г.

Задача 1.12

Две проволоки, одна стальная, другая медная, имеют одинаковую дину и нагружены одинаковыми осевыми растягивающими усилиями. Медная проволока имеет диаметр 1 мм. Чему равен диаметр стальной проволоки, если обе проволоки удлиняются на одинаковую величину?

Решение

Удлинение проволоки находится по формуле:

$\Delta l=\frac{P\cdot l}{E\cdot S}$

По условиям задачи удлинение обеих проволок одинаковое, то есть:

$\frac{P\cdot l}{E_{Cu}\cdot S_{Cu}}=\frac{P\cdot l}{E_{St}\cdot S_{St}}$

откуда $\frac{S_{Cu}}{S_{St}}=\frac{E_{St}}{E_{Cu}}$

или

$\frac{d^2_{Cu}}{d^2_{St}}=\frac{E_{St}}{E_{Cu}}$

отсюда

$d_{St}=\sqrt{d^2_{Cu}\frac{E_{Cu}}{E_{St}}}=\sqrt{0,1^2\cdot\frac{1\cdot10^6}{{2\cdot10^6}}}=\sqrt{0,005}=0,071 cm=0,71 mm$

Задача 1.11

Посмотреть на Яндекс.Фотках

Двутавровая балка № 30а заложена концами в кирпичную стену (см. рисунок). Через каждый конец балки равномерно передаётся на кладку давление Q=6 т. Определить на какую длину a следует заложить в стену конец балки, если допускаемое напряжение на сжатие для кирпичной кладки равно [σ]=9 кг/см². Ширину балки взять из сортамента.

Решение.

Ширина балки № 30а по сортаменту 14,5 см. Глубина заделки a=S/14,5 (S — площадь балки)

S = Q/σ = 6000/9=666,7 см²

Глубина заделки a=666,7/14,5=46 см.

суббота, 14 апреля 2012 г.

суббота, 18 февраля 2012 г.

понедельник, 9 января 2012 г.

воскресенье, 18 декабря 2011 г.

среда, 2 ноября 2011 г.

воскресенье, 26 июня 2011 г.

суббота, 19 марта 2011 г.

четверг, 17 марта 2011 г.

среда, 16 марта 2011 г.

четверг, 10 марта 2011 г.