Сборник задач по сопромату: 2011

воскресенье, 18 декабря 2011 г.

Задача 1.21

Рабочее давление в цилиндре паровой машины q=10 ат (превышение над наружным); внутренний диаметр цилиндра D=350 мм (см. рисунок). Сколько болтов диаметром d=18 мм необходимо, чтобы прикрепить крышку к телу цилиндра, если допускаемое напряжение для материала болтов [σ]=400 кг/см².

Решение.

Площадь сечения одного болта:

$S_1=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{3,14\cdot1,8^2}{4}=2,54\: cm^2$

Усилие, которое он может выдержать:

$P_1=\left[\sigma \right ]\cdot S=400\cdot2,54=1016\: kg$

Площадь сечения крышки:

$S=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{3,14\cdot35^2}{4}=961,6\: cm^2$

Усилие, которое приходится на крышку (и равномерно распределяется по всем болтам):

P=10×961,6=9616 кг.

Таким образом, нам необходимо n=P/P₁=9616/1016=9,46 (округляя вверх до целого = 10) болтов.

Задача 1.20

На рисунке представлен стержень, верхняя часть которого стальная, а нижняя чугунная. Осевая нагрузка P укорачивает весь стержень на 0,2 мм. Определить величину нагрузки P.

Решение.

Индекс 1 далее относится к верхней части, индекс 2 — к нижней.

Площадь сечения верхней (стальной) части S₁=5×5=25 см²

Площадь сечения нижней (чугунной) части S₂=7,5×7,5=56,25 см²

Модули упругости соответственно 2·10⁶ кгс/см² и 1,2 кгс/см².

Укорочение стержня можно найти по формуле:

$\Delta l=\frac{Pl_1}{E_1S_1}+\frac{Pl_2}{E_2S_2}$

Отсюда выразим P:

$P=\frac{\Delta l}{\frac{l_1}{E_1S_1}+\frac{l_2}{E_2S_2}}$

Подставляем значения:

$P=\frac{0,02}{\frac{25}{2\cdot10^6\cdot25}+\frac{30}{1,2\cdot10^6\cdot56,25}}=21176\: kg\: \left(21,2\:t\right)$

Ответ: 21,2 тонны.

среда, 2 ноября 2011 г.

Задача 1.19

Определить напряжения во всех участках изображенного на рисунке стального стержня и полную его деформацию, если поперечное сечение равно 10 см².

Решение.

Реактивное усилие в заделке равно 4+2-2 = 4 т. (направлено влево).

Рассмотрим по отдельности все три участка:

а) Левый участок длиной 1 м. Рассекаем его в произвольном месте и отбрасываем правую часть. Для нейтрализации реактивного усилия в нём должна быть направленная вправо сила 4 т., усилие на этом участке растягивающее.

Напряжение на этом участке:

$\sigma_1=\frac{4000}{10}=400\: \frac{kg}{cm^2}$

Удлинение стержня на этом участке (растяжение):

$\Delta l=\frac{F_1l_1}{ES}=\frac{4000\cdot100}{2\cdot10^6\cdot10}=0.02\: cm$

б) средний участок. Аналогично рассечем его в любом месте и отбросим правую часть. Напряжение в нём будет равно нулю (-4 т + 4 т.), как и удлинение.

в) Правый участок. Рассекаем в любом месте, отбрасываем левую часть. Усилие для компенсации силы справа составит +2 т (направлено вправо), участок будет сжат.

Напряжение в сечении:

$\sigma_1=\frac{-2000}{10}=-200\: \frac{kg}{cm^2}$

Укорочение участка:

$\Delta l=\frac{F_1l_1}{ES}=\frac{2000\cdot200}{2\cdot10^6\cdot10}=0.02\: cm$

Полное изменение длины участка + 0,02 см + 0 см -0,02 см = 0

воскресенье, 26 июня 2011 г.

Задача 1.17

Определить напряжения в сечениях 1-1 и 2-2 и полное удлинение стального стержня, нагруженного, как показано на рисунке, если площадь его поперечного сечения равна 4 см².

Решение.

Для определения напряжения, мысленно рассекаем стрежень по сечениям и отбрасываем любую из частей (левую или правую), определяем геометрическую сумму сил на оставшемся участке.

Выйдет для сечения 1-1 2 т и для сечения 2-2 1 т.

Усилия в сечениях

$\begin{matrix} \sigma _{1-1}=\frac{S_1}F=\frac{2000}{4}=500 kg/cm^2\\\\ \sigma _{1-1}=\frac{S_1}F=\frac{2000}{4}=500 kg/cm^2 \end{matrix}$

Деформация стержня складывается из деформаций по участкам, с учётом знаков.

$\Delta l_1\frac{S_1l1_1}{EF}=\frac{2000\cdot 100}{2\cdot10^6\cdot4}=0.025 mm$

$\Delta l_2\frac{S_2l_2}{EF}=\frac{1000\cdot 200}{2\cdot10^6\cdot4}=0.025|:cm$

Суммарная деформация 0,05 см = 0,5 мм.

суббота, 19 марта 2011 г.

Задача 1.16

Две деревянные стойки сечением 10×10 см каждая нагружены, как указано на рисунке. Определить напряжения в различных сечениях стоек.

Решение.

Определим сначала реактивные усилия.

Расчёт тривиальный, по правилу рычага и т.п.:

$F_1=\frac{900\cdot2}{3}=600\:kg$

$F_2=\frac{300\cdot4}{3}=400\:kg$

$F_3=\frac{300\cdot1,5}{3}=150\:kg$

$F_4=\frac{900\cdot1}{3}=300\:kg$

$F_5=\frac{300\cdot1}{3}=100\:kg$

$F_6=\frac{300\cdot4,5}{3}=450\:kg$

Площадь поперечного сечения каждой стойки:

S=10×10=100 см²

Действующие на участках силы:

F_a = F₁ = 600 кг
F_b = F₁ + F₂ = 600+400 = 1000 кг
F_c = F₁ + F₂ - F₃ = 600+400-150 = 850 кг
F_d = F₄ = 300кг
F_e = F₄ - F₅ = 300-100 = 200 кг
F_f = F₄ - F₅ + F₆ = 300-100+450 = 650 кг

Напряжения на участках:

[σ_a]=F_a/S=600/100 = 6 кг/см²
[σ_b]=F_b/S=1000/100 = 10 кг/см²
[σ_c]=F_c/S=850/100 = 8,5 кг/см²
[σ_d]=F_d/S=300/100 = 3 кг/см²
[σ_e]=F_e/S=200/100 = 2 кг/см²
[σ_f]=F_f/S=650/100 = 6,5 кг/см²

Примечание — здесь со знаком плюс — усилия, направленные вниз.

Задача 1.15

Определить диаметр каждого из двух болтов, соединяющих обе части разъемной головки шатуна (см. рисунок); усилие в шатуне P=12 800 кг; допускаемое напряжение для материала болтов равно [σ]=600 кг/см².

Решение.

Необходимая площадь сечения одного болта:

$S_1=\frac {P}{2\cdot\sigma}=\frac{12800}{2\cdot600}=10 \tfrac{2}{3} cm^2$

Отсюда минимальный диаметр одного болта:

$d=\sqrt{\frac{4\cdot S_1}{\pi}}=\sqrt{\frac{4\cdot 10 \tfrac{2}{3}}{\pi}}=3,68\,cm=36,8\,mm$

четверг, 17 марта 2011 г.

Задача 1.14

К нижнему концу троса, закреплённого верхним концом, подвешен груз P=7,5 т. Трос составлен из проволок диаметров d=2 мм. Допускаемое напряжение для материала троса равно [σ]=3000 кг/см². Из какого количества проволок должен быть составлен трос?

Решение.

Площадь поперечного сечения одной проволоки $S_1=\frac{\pi\cdot d^2}{4}=\frac{\pi\cdot0,2^2}{4}=31,4\cdot10^{-3}\, cm^2$

Необходимая площадь поперечного сечения всех проволок:

$S=\frac{P}{\left [\sigma \right ]}=\frac{7500}{3000}=2,5\, cm^2$

Необходимое количество проволок:

$n=\frac{2,5}{31,4\cdot10^{-3}}=79,6$

Округляем вверх до 80 штук.

среда, 16 марта 2011 г.

Задача 1.13

Сосновая стойка сечением 20×20 см. опирается на дубовую подушку, как указано на рисунке. Допускаемое напряжение на смятие для сосны вдоль волокон равно $\inline \left [ \sigma_\parallel \right ]$ =100 кгс/см², а для дуба поперёк волокон равно $\inline \left [ \sigma_\perp \right ]$ =300 кгс/см². Определить предельную нагрузку на стойку.

Решение.

Площадь поперечного сечения стойки (и площадь на которой сосновая стойка опирается на дубовую подушку)

S=20·20=400 см².

При допустимом напряжении для сосны предельной нагрузкой будет

$\inline P=\left [ \sigma_\parallel \right ] \cdot S = 100 \cdot 400 = 40000\, kg$

, а для дуба будет

$\inline P=\left [ \sigma_\perp \right ] \cdot S = 30 \cdot 400 = 12000\, kg$

Меньшее из значений (12000 кг. или 12 т) и будет предельной нагрузкой.

Ещё один способ вставлять формулы.

Я уже писал ранее как вставлять в блог формулы. Ещё один сервис такого же типа, даже выдаёт формулы получше качеством. Примечание от 14.02.2015. На сегодняшний день этот сервис не работает. См. второй сервис, позволяющий вставлять формулы.

четверг, 10 марта 2011 г.

Задача 1.12

Две проволоки, одна стальная, другая медная, имеют одинаковую дину и нагружены одинаковыми осевыми растягивающими усилиями. Медная проволока имеет диаметр 1 мм. Чему равен диаметр стальной проволоки, если обе проволоки удлиняются на одинаковую величину?

Решение

Удлинение проволоки находится по формуле:

$\Delta l=\frac{P\cdot l}{E\cdot S}$

По условиям задачи удлинение обеих проволок одинаковое, то есть:

$\frac{P\cdot l}{E_{Cu}\cdot S_{Cu}}=\frac{P\cdot l}{E_{St}\cdot S_{St}}$

откуда $\frac{S_{Cu}}{S_{St}}=\frac{E_{St}}{E_{Cu}}$

или

$\frac{d^2_{Cu}}{d^2_{St}}=\frac{E_{St}}{E_{Cu}}$

отсюда

$d_{St}=\sqrt{d^2_{Cu}\frac{E_{Cu}}{E_{St}}}=\sqrt{0,1^2\cdot\frac{1\cdot10^6}{{2\cdot10^6}}}=\sqrt{0,005}=0,071 cm=0,71 mm$

Задача 1.11

Посмотреть на Яндекс.Фотках

Двутавровая балка № 30а заложена концами в кирпичную стену (см. рисунок). Через каждый конец балки равномерно передаётся на кладку давление Q=6 т. Определить на какую длину a следует заложить в стену конец балки, если допускаемое напряжение на сжатие для кирпичной кладки равно [σ]=9 кг/см². Ширину балки взять из сортамента.

Решение.

Ширина балки № 30а по сортаменту 14,5 см. Глубина заделки a=S/14,5 (S — площадь балки)

S = Q/σ = 6000/9=666,7 см²

Глубина заделки a=666,7/14,5=46 см.

среда, 9 марта 2011 г.

Задача 1.10

Затяжка арочной фермы длиной 10 м испытывает усилие 60 т. Затяжка состоит из двух стальных швеллеров № 18а. Насколько удлинится затяжка?

Решение.

Для швеллера 18а площадь сечения составляет 22,2 см² (находим из таблицы). Для двух швеллеров соответственно площадь сечения S= 44,4 см².

Напряжение в поперечном сечении составит:

σ=P/S=60000/44,4=1351 кг/см2

Модуль упругости для стали E=2·10⁶ кг/см²

Удлинение затяжки

$\Delta l=\frac{Pl}{ES}=\frac{60000\cdot1000}{2\cdot10^6\cdot44,4}=0,676 cm = 6,76 mm$

воскресенье, 27 февраля 2011 г.

Задача 1.9

Стальная полоса (см. рисунок) растянута продольными силами. Она ослаблена круглыми заклепочными отверстиями, как показано на рисунке. Определить среднюю величину напряжения в опасном сечении.

Посмотреть на Яндекс.Фотках

Решение.

Площадь опасного сечения составит:

$S={1\cdot20}-3\cdot\left(1\cdot2\right)=14\:cm^2$

Напряжение в опасном сечении:

$\sigma=\frac{P}{S}=\frac{14000}{14}=1000\:kg/cm^2$

Задача 1.8

Стержень из малоуглеродистой стали шириной 30 см и толщиной 15 мм ослаблен заклепочным отверстием диаметром 23 мм, расположенным на оси стержня. Какое растягивающее усилие этот стержень сможет выдержать, если допускаемое напряжение равно 900 кг/см².

Решение

Площадь в опасном сечении будет

S=30×1,5-(2,3×1,5)=41.55 см²

Допустимое усилие составит

P=σ·S=900·41,55=37395 кг.

пятница, 25 февраля 2011 г.

Задача 1.7

1.7 Проволока диаметром 5 мм и длиной 600 м, приводящая в движение железнодорожный сигнал, расположена на роликах, как указано на рисунке.

Определить, какое перемещение Δ при усилии в 200 кг надо дать концу проволоки в сигнальной будке, если перемещение другого её конца у сигнала должно быть равно a=17,5 см. Провесом проволоки между роликами и силой трения между проволокой и роликами пренебречь.

Решение

Материал проволоки не указан. Принимаем сталь (модуль упругости при растяжении и сжатии E=2·10⁶кг/см²).

Удлинение проволоки при таком усилии составит

$\Delta l=\frac{4 P l}{E \pi D^2}=\frac{4\cdot200\cdot 60000}{2\cdot10^6\pi 0,5^2}=30,6 cm$

Необходимое перемещение Δ=Δl+a=30,6+17,5=48,1 см.

среда, 23 февраля 2011 г.

Задача 1.6

1.6 Чугунная колонна кольцевого поперечного сечения имеет наружный диаметр 30 см. и нагружена силой 200 т. Определить необходимую толщину стенки при допускаемом напряжении на сжатие 800 кг/см².

Решение

Площадь сечения колонны находится по формуле

$S=\frac P \sigma$ S=200 000 кг/800 кг/см² = 250 см²

Площадь сечения цилиндрической колонны такого диаметра составила бы

$S^\prime=\frac{\pi D^2}{4}$

S'=π·30²/4 = 706,858 см²

Таким образом, площадь внутреннего диаметра колонны (площадь отверстия) составит

S''=706,858-250 = 456,858 см²

Диаметр этого отверстия

$D=\sqrt{\frac{4\cdot S''}{\pi}}=\sqrt{\frac{4\cdot 456,858}{\pi}}=24,118 cm$

Толщина стенок $l=\frac{30-24,118}2=2,9 cm$

воскресенье, 18 декабря 2011 г.

среда, 2 ноября 2011 г.

воскресенье, 26 июня 2011 г.

суббота, 19 марта 2011 г.

четверг, 17 марта 2011 г.

среда, 16 марта 2011 г.

четверг, 10 марта 2011 г.

среда, 9 марта 2011 г.

воскресенье, 27 февраля 2011 г.

пятница, 25 февраля 2011 г.

среда, 23 февраля 2011 г.