Сборник задач по сопромату: марта 2011

суббота, 19 марта 2011 г.

Задача 1.16

Две деревянные стойки сечением 10×10 см каждая нагружены, как указано на рисунке. Определить напряжения в различных сечениях стоек.

Решение.

Определим сначала реактивные усилия.

Расчёт тривиальный, по правилу рычага и т.п.:

$F_1=\frac{900\cdot2}{3}=600\:kg$

$F_2=\frac{300\cdot4}{3}=400\:kg$

$F_3=\frac{300\cdot1,5}{3}=150\:kg$

$F_4=\frac{900\cdot1}{3}=300\:kg$

$F_5=\frac{300\cdot1}{3}=100\:kg$

$F_6=\frac{300\cdot4,5}{3}=450\:kg$

Площадь поперечного сечения каждой стойки:

S=10×10=100 см²

Действующие на участках силы:

F_a = F₁ = 600 кг
F_b = F₁ + F₂ = 600+400 = 1000 кг
F_c = F₁ + F₂ - F₃ = 600+400-150 = 850 кг
F_d = F₄ = 300кг
F_e = F₄ - F₅ = 300-100 = 200 кг
F_f = F₄ - F₅ + F₆ = 300-100+450 = 650 кг

Напряжения на участках:

[σ_a]=F_a/S=600/100 = 6 кг/см²
[σ_b]=F_b/S=1000/100 = 10 кг/см²
[σ_c]=F_c/S=850/100 = 8,5 кг/см²
[σ_d]=F_d/S=300/100 = 3 кг/см²
[σ_e]=F_e/S=200/100 = 2 кг/см²
[σ_f]=F_f/S=650/100 = 6,5 кг/см²

Примечание — здесь со знаком плюс — усилия, направленные вниз.

Задача 1.15

Определить диаметр каждого из двух болтов, соединяющих обе части разъемной головки шатуна (см. рисунок); усилие в шатуне P=12 800 кг; допускаемое напряжение для материала болтов равно [σ]=600 кг/см².

Решение.

Необходимая площадь сечения одного болта:

$S_1=\frac {P}{2\cdot\sigma}=\frac{12800}{2\cdot600}=10 \tfrac{2}{3} cm^2$

Отсюда минимальный диаметр одного болта:

$d=\sqrt{\frac{4\cdot S_1}{\pi}}=\sqrt{\frac{4\cdot 10 \tfrac{2}{3}}{\pi}}=3,68\,cm=36,8\,mm$

четверг, 17 марта 2011 г.

Задача 1.14

К нижнему концу троса, закреплённого верхним концом, подвешен груз P=7,5 т. Трос составлен из проволок диаметров d=2 мм. Допускаемое напряжение для материала троса равно [σ]=3000 кг/см². Из какого количества проволок должен быть составлен трос?

Решение.

Площадь поперечного сечения одной проволоки $S_1=\frac{\pi\cdot d^2}{4}=\frac{\pi\cdot0,2^2}{4}=31,4\cdot10^{-3}\, cm^2$

Необходимая площадь поперечного сечения всех проволок:

$S=\frac{P}{\left [\sigma \right ]}=\frac{7500}{3000}=2,5\, cm^2$

Необходимое количество проволок:

$n=\frac{2,5}{31,4\cdot10^{-3}}=79,6$

Округляем вверх до 80 штук.

среда, 16 марта 2011 г.

Задача 1.13

Сосновая стойка сечением 20×20 см. опирается на дубовую подушку, как указано на рисунке. Допускаемое напряжение на смятие для сосны вдоль волокон равно $\inline \left [ \sigma_\parallel \right ]$ =100 кгс/см², а для дуба поперёк волокон равно $\inline \left [ \sigma_\perp \right ]$ =300 кгс/см². Определить предельную нагрузку на стойку.

Решение.

Площадь поперечного сечения стойки (и площадь на которой сосновая стойка опирается на дубовую подушку)

S=20·20=400 см².

При допустимом напряжении для сосны предельной нагрузкой будет

$\inline P=\left [ \sigma_\parallel \right ] \cdot S = 100 \cdot 400 = 40000\, kg$

, а для дуба будет

$\inline P=\left [ \sigma_\perp \right ] \cdot S = 30 \cdot 400 = 12000\, kg$

Меньшее из значений (12000 кг. или 12 т) и будет предельной нагрузкой.

Ещё один способ вставлять формулы.

Я уже писал ранее как вставлять в блог формулы. Ещё один сервис такого же типа, даже выдаёт формулы получше качеством. Примечание от 14.02.2015. На сегодняшний день этот сервис не работает. См. второй сервис, позволяющий вставлять формулы.

четверг, 10 марта 2011 г.

Задача 1.12

Две проволоки, одна стальная, другая медная, имеют одинаковую дину и нагружены одинаковыми осевыми растягивающими усилиями. Медная проволока имеет диаметр 1 мм. Чему равен диаметр стальной проволоки, если обе проволоки удлиняются на одинаковую величину?

Решение

Удлинение проволоки находится по формуле:

$\Delta l=\frac{P\cdot l}{E\cdot S}$

По условиям задачи удлинение обеих проволок одинаковое, то есть:

$\frac{P\cdot l}{E_{Cu}\cdot S_{Cu}}=\frac{P\cdot l}{E_{St}\cdot S_{St}}$

откуда $\frac{S_{Cu}}{S_{St}}=\frac{E_{St}}{E_{Cu}}$

или

$\frac{d^2_{Cu}}{d^2_{St}}=\frac{E_{St}}{E_{Cu}}$

отсюда

$d_{St}=\sqrt{d^2_{Cu}\frac{E_{Cu}}{E_{St}}}=\sqrt{0,1^2\cdot\frac{1\cdot10^6}{{2\cdot10^6}}}=\sqrt{0,005}=0,071 cm=0,71 mm$

Задача 1.11

Посмотреть на Яндекс.Фотках

Двутавровая балка № 30а заложена концами в кирпичную стену (см. рисунок). Через каждый конец балки равномерно передаётся на кладку давление Q=6 т. Определить на какую длину a следует заложить в стену конец балки, если допускаемое напряжение на сжатие для кирпичной кладки равно [σ]=9 кг/см². Ширину балки взять из сортамента.

Решение.

Ширина балки № 30а по сортаменту 14,5 см. Глубина заделки a=S/14,5 (S — площадь балки)

S = Q/σ = 6000/9=666,7 см²

Глубина заделки a=666,7/14,5=46 см.

среда, 9 марта 2011 г.

Задача 1.10

Затяжка арочной фермы длиной 10 м испытывает усилие 60 т. Затяжка состоит из двух стальных швеллеров № 18а. Насколько удлинится затяжка?

Решение.

Для швеллера 18а площадь сечения составляет 22,2 см² (находим из таблицы). Для двух швеллеров соответственно площадь сечения S= 44,4 см².

Напряжение в поперечном сечении составит:

σ=P/S=60000/44,4=1351 кг/см2

Модуль упругости для стали E=2·10⁶ кг/см²

Удлинение затяжки

$\Delta l=\frac{Pl}{ES}=\frac{60000\cdot1000}{2\cdot10^6\cdot44,4}=0,676 cm = 6,76 mm$

суббота, 19 марта 2011 г.

четверг, 17 марта 2011 г.

среда, 16 марта 2011 г.

четверг, 10 марта 2011 г.

среда, 9 марта 2011 г.

суббота, 19 марта 2011 г.

четверг, 17 марта 2011 г.

среда, 16 марта 2011 г.

четверг, 10 марта 2011 г.

среда, 9 марта 2011 г.