Задача 1.24

Водонепроницаемый щит удерживается от опрокидывания деревянными подкосами AB круглого поперечного сечения диаметром 15 см. Допускаемое напряжение для материала подкосов принято равным 20 кг/см². Определить наибольшее расстояние между подкосами.

Решение.

Задача аналогична предыдущей (1.23), только решается как бы с противоположной стороны.

Площадь поперечного сечения подкоса составляет:



При такой площади, учитывая допускаемое напряжение [σ]=20 кг/см², максимальное допустимое усилие на подкос составит:

F=[σ]·S=20·176,7=3534 кг.

Давление, действующая на элемент боковой стенки с площадью dS, находящийся на глубине h от поверхности слоя, учитывая основное уравнение гидростатики, составит PS=P0+ρgh (где ρ — плотность воды = 1000, g - ускорение свободного падения в этой точки Земли, которое можно принять за 9,807 м/с2, P0 — атмосферное давление). P0 исключаем, т.к. атмосферное давление действует и с противоположной стороны щита.

Это давление, стало быть, изменяется по линейному закону от 0 (на поверхности) до ρgh, причём сила, действующая на конечный элемент (в ньютонах) изменяется от 0 до ρghdS (а в тоннах от 0 до ρhdS).

Среднее давление составит P=(ρgh+0)/2=1000*9,807*3/2=14,710 кПа

Сила, действующая на выбранный нами участок плоской стенки длиной x, где x (в метрах)
и есть искомое расстояние между подкосами, составит:

F_г.ст/=P×S=P×3×x=14710*3*x=44130×x Н (44130×x/9,807=4,5×x тонн)

Без вывода — эта сила приложена в данном случае на расстоянии, равном 1/3 высоты от дна (см. http://gidravl.narod.ru/osnovstat.html п. 2.3) или на высоте h_ц.д.=3*1/3=1 м.

По правилу рычага усилие, приходящееся на подпорку:



(Направленное перпендикулярно щиту).

Однако, подкос стоит не перпендикулярно щиту, а под углом, синус которого равен 3/5 (где 5 — длина подкоса по теореме Пифагора).

Проекция силы на подкос составит 1,125×x/cos A, где A = 90°-угол между стеной и подкосом, cos A=3/5, таким образом, проекция силы составит 1,125×/(3/5)=1,875×x.

C другой стороны это усилие, как мы выяснили выше, равно 3,534 т.

1,875×x=3,534, отсюда x=1,88 м.

Задача 1.23

Водонепроницаемый щит удерживается деревянными распорками AB от опрокидывания давлением воды. Распорки поставлены через каждые три метра. Подобрать круглое сечение распорки, если для дерева допускаемое напряжение на сжатие в нашем случае равно [σ]=30 кг/см².

Решение.

Рассмотрим элемент боковой стенки, приходящийся на одну опору (т.е. длиной 3 метра). Его площадь S составит 6 кв. м. (3×2, где 3 м. — длина этого элемента боковой стенки и 2 м. — высота слоя жидкости).

Давление, действующая на элемент боковой стенки с площадью dS, находящийся на глубине h от поверхности слоя, учитывая основное уравнение гидростатики, составит P_S=P₀+ρgh (где ρ — плотность воды = 1000, g - ускорение свободного падения в этой точки Земли, которое можно принять за 9,807 м/с², P₀ — атмосферное давление). P₀ исключаем, т.к. атмосферное давление действует и с противоположной стороны щита.

Это давление, стало быть, изменяется по линейному закону от 0 (на поверхности) до ρgh, причём сила, действующая на конечный элемент (в ньютонах) изменяется от 0 до ρghdS (а в тоннах от 0 до ρhdS).

Среднее давление составит P=(ρgh+0)/2=1000*9,807*2/2=9,807 кПа

Сила, действующая на выбранный нами участок плоской стенки

F=P×S=9800*2*3=58840 Н (58840/9,807=6 тонн)

Без вывода — эта сила приложена в данном случае на расстоянии, равном 1/3 высоты от дна (см. http://gidravl.narod.ru/osnovstat.html п. 2.3) или на высоте h_ц.д.=2*1/3=2/3 м.

По правилу рычага усилие, приходящееся на подпорку

F_п=6×((2/3)/3)=4/3 тонны

В таком случае, необходимая площадь поперечного сечения подпорки S_п=F_п/[σ]=4/(3×30)=44,5 см², откуда необходимый диаметр:

Задача 1.22

Условие.

Сечение подвески AB (см. рисунок) состоит из четырёх стандартных уголков размером 100×100×10 мм, ослабленных восемью заклёпочными отверстиями диаметром 20 мм. Определить напряжение в опасном сечении подвески.

Решение.

Хотя формально система не является статистически определимой, пользуясь её симметрией, мы можем решить эту задачу. Отбрасываем, например, левую часть по оси симметрии, оставляя в подвесе только два стандартных уголка.

Напряжение в точке B (обозначим F) будет очевидно направлено вниз и суммарное усилие от двух сосредоточенных сил в этой точке можно посчитать в соответствии с правилом рычага, оно составит:



Эти 20 тонн распределены на два уголка поровну, на один уголок придётся 10 т.

Площадь сечения стандартного уголка находим по таблице, она равна 19,2 см². В каждом уголке по два отверстия, уменьшающих площадь опасного сечения на (1×2)=2 см² каждое.

Таким образом, площадь опасного сечения составит S=19,2-(2×2)=15,2 см².

Напряжение в опасном сечении:



В задачнике в ответе приведено значение 659 кг/см².

Задача 1.21

Рабочее давление в цилиндре паровой машины q=10 ат (превышение над наружным); внутренний диаметр цилиндра D=350 мм (см. рисунок). Сколько болтов диаметром d=18 мм необходимо, чтобы прикрепить крышку к телу цилиндра, если допускаемое напряжение для материала болтов [σ]=400 кг/см².

Решение.

Площадь сечения одного болта:



Усилие, которое он может выдержать:



Площадь сечения крышки:



Усилие, которое приходится на крышку (и равномерно распределяется по всем болтам):

P=10×961,6=9616 кг.

Таким образом, нам необходимо n=P/P₁=9616/1016=9,46 (округляя вверх до целого = 10) болтов.

Задача 1.20

На рисунке представлен стержень, верхняя часть которого стальная, а нижняя чугунная. Осевая нагрузка P укорачивает весь стержень на 0,2 мм. Определить величину нагрузки P.

Решение.

Индекс 1 далее относится к верхней части, индекс 2 — к нижней.

Площадь сечения верхней (стальной) части S₁=5×5=25 см²

Площадь сечения нижней (чугунной) части S₂=7,5×7,5=56,25 см²

Модули упругости соответственно 2·10⁶ кгс/см² и 1,2 кгс/см².

Укорочение стержня можно найти по формуле:



Отсюда выразим P:



Подставляем значения:



Ответ: 21,2 тонны.

Задача 1.19

Определить напряжения во всех участках изображенного на рисунке стального стержня и полную его деформацию, если поперечное сечение равно 10 см².

Решение.

Реактивное усилие в заделке равно 4+2-2 = 4 т. (направлено влево).

Рассмотрим по отдельности все три участка:

а) Левый участок длиной 1 м. Рассекаем его в произвольном месте и отбрасываем правую часть. Для нейтрализации реактивного усилия в нём должна быть направленная вправо сила 4 т., усилие на этом участке растягивающее.

Напряжение на этом участке:



Удлинение стержня на этом участке (растяжение):



б) средний участок. Аналогично рассечем его в любом месте и отбросим правую часть. Напряжение в нём будет равно нулю (-4 т + 4 т.), как и удлинение.

в) Правый участок. Рассекаем в любом месте, отбрасываем левую часть. Усилие для компенсации силы справа составит +2 т (направлено вправо), участок будет сжат.

Напряжение в сечении:



Укорочение участка:



Полное изменение длины участка + 0,02 см + 0 см -0,02 см = 0

Задача 1.17

Определить напряжения в сечениях 1-1 и 2-2 и полное удлинение стального стержня, нагруженного, как показано на рисунке, если площадь его поперечного сечения равна 4 см².

Решение.

Для определения напряжения, мысленно рассекаем стрежень по сечениям и отбрасываем любую из частей (левую или правую), определяем геометрическую сумму сил на оставшемся участке.

Выйдет для сечения 1-1 2 т и для сечения 2-2 1 т.

Усилия в сечениях



Деформация стержня складывается из деформаций по участкам, с учётом знаков.





Суммарная деформация 0,05 см = 0,5 мм.